Aufgabe:
Zwischen der x-Achse und der
Parabel zu f(x)=x² soll das Maß der Fläche im Intervall
[0;b] bestimmt werden.
Dies geschieht näherungsweise mittels Unter- und Obersumme von Zerlegungsrechtecken.
In den Abbildungen rechts ist dies für b=1 mit n=4 Zerlegungen gezeigt.
Hinweis: Sie können dies [hier] interaktiv betrachten.
a) Berechnen Sie für b=4 und n=4
die Obersumme OS4 und dann die Untersumme US4
algebraisch. Welcher quantitativer Zusammenhang besteht zwischen
der Untersumme US4, dem tatsächlichen Flächeninhalt
A und der Obersumme OS4?
Stellen Sie eine Abschätzungsungleichung
auf.
b) Stellen Sie nun für die Intervallbreite b (statt bisher 4) und n (statt bisher 4) Zerlegungsrechtecke ebenfalls Summenterme der Unter- und Obersumme auf und vereinfachen Sie diese weitestgehend.
c1) Der Zerlegungsvorgang wird nun theoretisch weiter verfeinert und n immer größer. Bilden Sie die Grenzwerte der Obersumme OSn und der Untersumme OSn.
c2) Wie groß ist A über dem Intervall [0;b] und für b aus {4;7;11}?
c3) Vergleichen Sie Ihre Lösungen zu b) und c) mit der veröffentlichten. Versuchen Sie nun nochmals selbst, die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)=x³ bis zur x-Achse über dem Intervall [0;b] durch n-Zerlegung und Grenzwertbildung zu ermitteln.
d) Berechnen Sie mit dem GTR die Obersumme OS4 und dann die Untersumme US4. Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus a).
e) Verallgemeinern Sie die verwendeten Formeln für die Unter- und Obersumme weitgehend durch Einbeziehung von Variablen (N Zerlegungen, B rechte Grenze - anfangs mit Wert 4, A für linke Grenze - anfangs mit Wert 0).
Berechnen Sie nun für B=4 und N aus {10;20;...;90;100;200;...;900} die Unter- und Obersummen und tragen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle ein. Auf wieviele Dezimale genau können Sie die tatsächliche Fläche A bereits bestimmen?
Was Sie dazu wissen sollten:
[II.List] OPS 5:seq( liefert mit seq(X²,X,1,10,1) eine Liste der ersten zehn Quadratzahlen
[II.List] MATH 5:sum( liefert mit sum(seq(X²,X,1,10,1)) deren Summe, also 385
seq(X²,X,1,4,2)*2.5 liefert das 2,5-fache jeder zweiten der ersten vier Quadratzahlen, also {2.5 22.5}
Lösung (aber zuerst selbst rechnen!)