Aufgabe:
Gegeben ist die ganzrationale
Funktionenschar ft durch 
.
a) Untersuchen Sie die Funktionenschar ft bzgl. Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten.
b) Zwei Schargraphen sind rechts abgebildet. Welche Parameterwerte t liegen ihnen zugrunde? Begründen Sie durch Rechnungen und Grapheneigenschaften.
c) Bestimmen Sie die Ortskurven der Extrem- und der Wendepunkte.
d) Für welches t hat die im ersten Quadranten liegende Fläche zwischen G(ft) und erster Achse die Maßzahl A = 2 2/3 FE ?
e) Ermitteln Sie den Inhalt A der Gesamtfläche, die von den Graphen G(f1 ) und G(f2 ) eingeschlossen wird (also t=1 und t=2!).
f) Gibt es (jeweils) einen Parameterwert t, so dass am zugehörigen
Graphen
(1) der Wendepunkt bei W(1/2) liegt
(2)
die Wendetangente durch P(1/2) verläuft?
Hinweise zu f2):
P muss kein Punkt des Graphen sein.
Zeigen Sie u. a.,
dass 27t³ + 9t - 8 = 0 gelten muss,
und dass p(t) = 27t³
+ 9t - 8 eine Nullstelle t = 0,50422 hat (Wertetabelle).
Was
bedeutet dies für das Problem in f2)? Machen Sie die Probe!
g) Nun sei t = 1/3. Gesucht ist ein möglichst großes Dreieck, das in der Fläche zwischen Graph und erster Achse liegt, einen Eckpunkte P auf dem Graph, als Hypothenuse die Strecke OP hat und dessen eine Kathete auf der ersten Achse liegt. Geben Sie die Koordinaten von P und das Maß dieses Dreiecks an.
Lösung [ zu a-c ] [ zu d-e ] [ zu f ] [ zu g ] (aber zuerst selbst rechnen!
Weitere Übung mit Derive-Lösung (Quelle: K. Gerber, Leverkusen)