Analysis-Übungen in Stufe 11

Aufgabe1: Ableitung mittels Linearfaktoren bilden

Es wird behauptet:

Die Tangentensteigung an der Stelle x einer in Linearfaktoren vorliegenden Funktion 3. Grades mit f(x) = a(x-p)(x-q)(x-r) kann leicht ermittelt werden:
m_t(x) = f'(x) = a(x-p)(x-q) + a(x-p)(x-r) + a(x-q)(x-r).

Offener Auftrag:
Untersuchen Sie dies vollständig. Denken Sie auch über Erweiterungen dieser Aussage nach (z. B. für Funktionen 2. oder 4. Grades).

Als Hilfsmittel ist der GTR zugelassen.

Falls Sie auch nach längerem Überlegen mit diesem offenen Auftrag nicht zurechtkommen (was soll ich denn eigentlich zeigen?), können Sie hier konkretisierte Arbeitsaufträge erhalten.

Alles wieder verstecken

Konkretisierte Aufträge:
a) Untersuchen Sie dies
  (1) an ausgewählten Beispielen algebraisch und mit CAS-Rechner
  (2) auch für 'krumme' Nullstellen
  (3) auch für doppelte / dreifache Nullstellen
b) Untersuchen Sie dies auch allgemein.
c) Untersuchen Sie an Beispielen (und nur für 2. Grades auch allgemein), ob dies auch auf Funktionen 2. bzw. 4. Grades übertragbar ist. 

Beispielterme zeigen

f(x) = (x-1)(x+3)(x-27)
f(x) = -0,1(x-5)(x-1)(x+5)
f(x) = (x-5)(x-2)(x+1,5)
f(x) = (x-2)²(x+3)
f(x) = (x-2)³

Aufgabe2: Zusammenhang zwischen Tangenten und Nullstellen

Es wird behauptet:

Bei Funktionen 3. Grades mit drei Nullstellen p,q und r schneidet die Tangente an G(f) an einer Stelle genau in der Mitte zwischen zwei der Nullstellen die x-Achse in der dritten Nullstelle.
Hinweis: Nutzen Sie hierzu die vereinfachte Bildung der Ableitung gemäß der Aussage in Aufgabe1.

Offener Auftrag:
Untersuchen Sie dies vollständig. Denken Sie auch über Erweiterungen dieser Aussage nach (z. B. für Funktionen 2. oder 4. Grades).

Als Hilfsmittel ist der GTR zugelassen.

Falls Sie auch nach längerem Überlegen mit diesem offenen Auftrag nicht zurechtkommen, können Sie hier konkretisierte Arbeitsaufträge erhalten.

Alles wieder verstecken

Konkretisierte Aufträge:
a) Untersuchen Sie dies
  (1) an ausgewählten Beispielen algebraisch und mit GTR
  (2) auch für 'krumme' Nullstellen
  (3) auch für eine doppelte / dreifache Nullstellen
b) Untersuchen Sie dies auch allgemein (algebraisch oder mit CAS).
  (1) für f(x) = (x-p)(x-q)(x-r)
  (2) für f(x) = a(x-p)(x-q)(x-r)
c) Untersuchen Sie an Beispielen, ob dies auch auf Funktionen 2. bzw. 4. Grades übertragbar ist 

Beispielterme zeigen

f(x) = (x-1)(x+3)(x-27)
f(x) = -0,1(x-5)(x-1)(x+5)
f(x) = (x-5)(x-2)(x+1,5)
f(x) = (x-2)²(x+3)
f(x) = (x-2)³

Lösung (aber zuerst selbst rechnen!)