Lösung:
Die Funktion p mit 
beschreibt den
Verlauf einer Windpockenerkrankung.
zu a) Die Dauer d kann als Abstand zwischen den Nullstellen der
Funktion abgelesen werden. Das ist aber nur eine ungefähre Methode,
denn gesucht sind die Zeitpunkte t, zu denen p(t) mindestens vom Wert 1 ist:
Gesucht sind t aus 0
Rechnerische Lösung: Gesucht sind die Schnittstellen xS mit p(tS) = 1. Die Differenz dieser Stellen (d = tS2 - tS1) entspricht der Krankheitsdauer mit aktiven Bläschen.
[GTR]:
Nach Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor als Y1 und Y2=1 und geeigneter
Window-Einstellung (z.B. -1<=x<=18 und -1<=y<=12)
können im Calc-Menü mittels intersect() interaktiv die Schnittstellen
ermittelt werden:
z. B. LeftBound -1, RightBound 1, Guess 1
liefert x=0.17
z. B. LeftBound 8, RightBound 15, Guess 15 liefert
X=10.7, also tS2=10.49
also d = 10.49 - 0.17 = 10.32
(0.3 Tage sind ca. 24/10*3=7.2 Stunden)
Antwort: Üblicherweise sind 10 Tage und 7 Stunden lang lang aktive Papeln
im Gesicht feststellbar.
[CAS]: Nach Definition von p0(t):= (t^3)/24-t^2+6t liefert solve(p0(t)>=1,t) das Ergebnis t=0.17 oder t=10.49 oder t=13.34
zu b) Innerhalb der beiden Nullstellen ist der Punkt H gesucht, dessen y-Koordinate den größten Wert besitzt - also der Hochpunkt.
Rechnerisch: Gesucht ist die Stelle th und
der Funktionswert p(th) dort.
Hierzu muss die erste
Ableitung p'(t) gebildet, dann p'(t) = 0 nach t gelöst werden.
Nach hinreichender Überprüfung - es muss p"(th
)<0 gelten - wird die y-Koordinate durch p(th) ermittelt.
[GTR]:
Wiederum im Calc-Menü mittels maximum() interaktiv die Nullstellen
ermittelt werden:
z. B. LeftBound 3, RightBound 5, Guess 5 liefert
X=3,9999977 und Y=10,666667.
Antwort: Am vierten Tag
sind die meisten Bläschen (nämlich ca. 10) zu beobachten.
zu c) Der Zuwachs und die Abnahme sind
hier erfragt! Gesucht sind also die Stellen t, an denen die größte
und die kleinste Steigung vorliegen.
Die einfache Betrachtung
des Graphen genügt, um festzustellen, dass im betrachteten
Intervall [0;12] an der Stelle t=0 die größte Steigung
vorhanden ist. Die kleinste Steigung liegt an der Wendestelle. Gesucht
ist also noch die Stelle, an der der Graph sein Krümmungsverhalten
(von Rechts- in Linkskrümmung) ändert.
Rechnerisch: Das Auffinden der Wendestelle tw geschieht durch Auflösen von p"(t)=0 nach t und hinreichende Überprüfung - es muss p'"(tw )>0 gelten.
[GTR]:
Die Wendestellen des Graphen G(p) sind die Nullstellen des zweiten
Ableitungsgraphen G(p"). Dieser Graph wird im Y-Editor erzeugt
durch zweimalige numerische Ableitung:
Y2=nDerive(Y1,X,X) und
Y3=nDerive(Y2,X,X), anschließend nur Y3 aktivieren und wechseln
in das Graph-Fenster. Gezeichnet wird eine Gerade.
Die Nullstelle
wird wie oben beschrieben im Calc-Menü, zero(), nach Auswahl
des Y3-Graphen(!) und mit z. B. LeftBound 7, RightBound 9, Guess
9 als X=8,0000007 ermittelt, also tw=8.
Antwort: Der größte Zuwachs findet am Tag 0, die stärkste Abnahme aktiver Bläschen am Tag 8 statt.
zu d) Der Verlauf ab dem fünften Tag wird über die Tangente am Graphen G(p) an der Stelle t=5 beschrieben, deren Nullstelle das Ende des Bläschenauftretens beiimmungeschwächten Kindern kennzeichnet.
Rechnerisch: Die Steigung an der Stelle t=5 durch p'(5) ermitteln, Funktionswert dort mit p(5) berechnen, dann z. B. mit Punkt-Steigungs-Form die Tangentengleichung i(t) bestimmen. Nach Auflösen von i(t)=0 nach t erhält man den gesuchten Zeitpunkt.
[GTR]:
Nach Aktivierung auch von Y2 im Y-Editor steht im Tabellen-Editor
(Table) unter Y2 eine Wertetabelle der Steigungen zur Verfügung.
Für X=5 kann -0,875 als Steigung abgelesen werden, unter Y1
sofort auch der Funktionswert 10,2083.
Einfacher kann über
das Draw-Menü mittels tangent() interaktiv nach Eingabe von
5 für X die Tangentengleichung ermittelt werden: y=-0,875+14,583.
Dieser Term wird als Y4 eingegeben und mit zero() die Nullstelle
(vgl. oben; wichtig: für RightBound z. B. 20 muss die Window-Einstellung
z.B. Xmax=20 betragen) ermittelt: zero() liefert x=16,7
Die
prozentuale Verlängerung errechnet sich aus pv=(16,7-12)/12=4,7/12=7/18=0,389
Antworten: Am 16. Tag sind dann erstmals keine aktiven Papeln mehr feststellbar. Der prozentuale Anteil der Krankheitsverlängerung bei Immunschwäche beträgt 38,9%.