Aufgabe:
a) Es soll untersucht werden, ob ein
Zusammenhang besteht zwischen den Zeugnisnoten in den Fächern
Englisch und Mathematik.
Hierzu die Zeugnisnoten einer Klasse
11a:
D |
08 |
07 |
09 |
11 |
07 |
02 |
07 |
06 |
08 |
06 |
E |
07 |
05 |
08 |
11 |
07 |
07 |
06 |
05 |
08 |
09 |
M |
02 |
03 |
07 |
07 |
13 |
06 |
06 |
03 |
05 |
07 |
D |
11 |
08 |
03 |
11 |
12 |
01 |
01 |
07 |
06 |
10 |
E |
07 |
10 |
06 |
07 |
08 |
05 |
07 |
05 |
10 |
08 |
M |
10 |
09 |
06 |
13 |
06 |
01 |
06 |
05 |
04 |
09 |
D |
05 |
08 |
07 |
13 |
04 |
|
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|
|
E |
05 |
13 |
12 |
12 |
04 |
|
|
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|
M |
11 |
03 |
04 |
12 |
02 |
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a1) Ermitteln Sie hierzu
mit dem GTR die Gleichung der Regressionsgerade, die Korrelation
und das Bestimmtheitsmaß der Vorgabedaten.
Stellen Sie
die Gerade durch die Punktwolke auch graphisch dar. Geben Sie alle
hierzu wichtigen Einstellungsparameter (Window, ...) an.
a2) Beantworten Sie (mit
Bezug auf diese Beispieldaten):
(1) Welcher Datenzusammenhang
besteht bei einer negativen Korrelation?
(2) Läßt
sich der oben genannte Zusammenhang bestätigen?
(3) Benennen Sie (hinsichtlich der linearen Abweichung) die beiden jeweils größten Ausreißer (nach oben und unten). Erzeugen Sie hierzu im STAT-Editor eine Liste RESID, die nach Ermittlung der Regressionsgeraden automatisch Werte enthält.
a3) Ist eine andere Korrelation innerhalb der Beispieldaten nachweisbar (z. B. zwischen D und E)?
b) Der Stromverbrauch der Stadt Bärlin
betrug in den Jahren 1995 bis 2000 (in Mrd. kWh):
Jahr |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
Verbrauch |
30,7 |
33,1 |
33,7 |
35,3 |
36,8 |
38,0 |
b1) Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgerade, die Korrelation und das Bestimmtheitsmaß der Vorgabedaten und stellen Sie Gerade und Punktwolke graphisch dar. Beurteilen Sie die Güte der Regression.
b2) Prognostizieren Sie den Verbrauch für die Folgejahre 2001 - 2005.
b3) Vergleichen Sie die Prognosedaten mit den tatsächlichen
Werten, und erstellen Sie für das Jahr 2005 eine aktualisierte
Prognose:
Jahr |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
|
|
Verbrauch |
38,3 |
38,5 |
39,1 |
39,9 |
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Hinweise:
- Lesen
Sie die vorbereitende Literatur: Einführung in das
Thema in
- Elemente der Mathematik 11, Seiten 232-239 und 249-250, Schroedel-Verlag
- Lernportal Mathe-Praxis von K. Gerber, Leverkusen
- Bearbeiten
Sie das vorbereitende interaktive Material:
- Selbstlern-Material Statistik / Lineare Regression (SelMA; Download)
- Empirische Ermittlung der Regressionsgerade (Uni Münster)
- Lineare Regression und Korrelation an vier Modellen erkunden
(Lernportal mathe-online, Österreich)
- Lineare Regression mit Datenbeispielen (mathe-online, Österreich)
- Die Korrelation gibt an, wie gut die Daten zusammenhängen. Positive Korrelation heißt: Je mehr x, desto mehr y. Negative Korrelation heißt: Je mehr x desto weniger y. Korrelationen im Bereich zwischen -0,4 und 0,4 besagen, dass die Daten nur wenig korrelieren.
- Das Bestimmtheitsmaß gibt an, wie
viel Prozent der Daten durch die Regressionsgerade gut dargestellt
werden. Bei r = 0,5 ergibt sich r² = 0,25, also werden
nur 25 % der Daten durch die Regressionsgerade angemessen dargestellt.
Falsch wäre die Aussage: 25% der Punkte liegen auf der Regressionsgeraden.
Eingabe am GTR:
ergibt:
Ermitteln der Regressionsgerade (und
sofortiges Speichern als Y1):
[STAT] CALC 4 [II.LIST] NAMES
L1 [Enter] [,] [II.LIST] NAMES L2 [Enter] [,]
[VARS] Y-VARS
1 Y1
Achtung: [STAT] CALC 4 [Enter] (ohne Listen) verwendet
die Listen LL1 und LL2!
y=ax+b
a=...
b=...
Für die zusätzlichen Ermittlung
der Korrelation und des Bestimmtheitsmaßes zuvor Einstellung
DiagnosticON im CATALOG-Menü einmalig aktivieren:
[II.CATALOG]
([III.D] und 9x Cursor auswählen:) DiagnosticOn [Enter] [Enter]
Korrelation r =...
und Bestimmtheit
r² = ...