Lösungen zu Analysis-Übung 7

Analysis-Abiturvorbereitung im GK Mathematik der Stufe 13:

Übung 7
Themenbereich Anwendungsaufgaben (Betriebswirtschaft)

Lösungen:

zu a)
Die Gewinnzone ist diejenige Teilmenge des Definitionsbereichs zwischen zwei Nullstellen, in dem der Graph G(G) der Gewinnfunktion im Positivbereich verläuft.
oder
Die Gewinnzone ist das Intervall zwischen den Schnittstellen der Graphen G(K) der Kostenfunktion und G(E) der Erlösfunktion, in dem der Graph G(E) der Erlösfunktion den oberen Rand der von beiden umschlossenen Fläche bildet.

Die Gewinnschwelle ist diejenige Nullstelle der Gewinnfunktion, an der der Graph G(G) vom Negativ- in den Positivbereich wechselt.
Die Gewinngrenze ist diejenige Nullstelle der Gewinnfunktion, an der der Graph G(G) vom Positiv- in den Negativbereich wechselt.

Das Gewinnmaximum ist das relative Maximum am Graphen der Gewinnfunktion.

Das Betriebsoptimum ist die Stelle mit relativem Minimum am Graphen G(k) der Stückkostenfunktion.

Das Betriebsminimum ist die Stelle mit relativem Minimum am Graphen der variablen Stückkostenfunktion k_V .
Der Term dieser Funktion wird gebildet, indem der Term der Kostenfunktion, vermindert um die Fixkosten (also nur die bei Produktion entstehenden Kosten) dividiert wird durch die Stückzahl: k_V(x) = ( K(x) - f ) / x .

zu b)
Wegen der beschriebenen Kapazitätsgrenze ist G(K) auf [0 ; 10] definiert,
hat keine Nullstellen, keine Extrempunkte, einen Wendepunkt bei W(2,7 | 292,7) und den y-Achsenabschnitt 160.
Weitere Graphenpunkte sind (1/217), (2/264), (3/307), (4/352), (5/405), (6/472), (7/559), (8/672), (9/817) und (10/1000).
Die Fixkosten f betragen 160 (GE), das sind die Kosten, die bereits ohne Produktion (x=0) entstehen.

zu c)
Da das hergestellte Gut zu einem konstanten Preis von p=88 GE abgesetzt wird, ergibt sich E(x) = 88x.
Der Gewinn wird ermittelt aus der Differenz zwischen Erlös und Kosten der jeweiligen Mengeneinheit,
der Term der Gewinnfunktion wird dann gebildet als
G(x) = E(x) - K(x) = 88x - (x³ - 8x² + 64x + 160) = - x³ + 8x² + 24x - 160.
Der Graph G(G) der Gewinnfunktion kann durch Überlagerung der beiden Graphen G(E) und G(K) -
genauer durch Subtraktion der jeweiligen Funktionswerte - ermittelt werden:
Die Nullstellen von G(G) sind die Schnittstellen von G(E) mit G(K), und in den Bereichen, in denen G(E) oberhalb G(K) liegt,
verläuft G(G) im Positivbereich.
Der Abstand von der x-Achse der Punkte auf G(G) gleicht dem Abstand zweier Punkte auf G(E) und G(K), die an der gleichen Stelle liegen.

zu d)
Gesucht sind hier die Gewinnzone (mit Gewinnschwelle und Gewinngrenze,
also die Nullstellen mit Wechsel Negativ- nach Positivbereich und umgekehrt im Definitionsbereich)
und der maximale Gewinn (also das relative Maximum im Bereich [0 ; 10]):
Aus G(x) = 0 folgt -x³ + 8x² +24x -160 = 0 , und durch Probieren mit G(4) = -64 + 128 + 96 - 160 = 0
ergibt sich die erste Nullstelle x=4.
Nach Termdivision erhält man die quadratische Gleichung -x² + 4x +40 = 0 mit den Lösungen
x = 2 - Wurzel(44) = - 4,63 (nicht in D(G)) und x = 2 + Wurzel(44) = 8,63
Die Überprüfung mittels Steigungen G '(4) = 40 > 0 (also dort Wechsel von Neg nach Pos.bereich)
und G '(x) = 8,63) = -61,4 < 0 (also dort Wechsel von Pos nach Neg.bereich) ergibt:
Die Gewinnzone liegt zwischen der Gewinnschwelle bei 4 ME und der Gewinngrenze bei 8,63 ME.
Mittels Nullsetzen der ersten Ableitung G '(x) = -3x² + 16x + 24 erhält man
nach Lösen der quadratischen Gleichung die beiden Lösungen x = 8/3 - Wurzel (544)/6 = -1,22 (nicht in D(G)) und x = 8/3 + Wurzel (544)/6 = 6,55.
Die hinreichende Überprüfung mit G "(x) = -6x + 16 ergibt G "(6,55) = -23,3 < 0, also dort ein relatives Maximum, das mit G(6,55) = 59,4 errechnet wird.
Das Unternehmen erzielt also mit der Ausbringungsmenge von 6,55 ME das Gewinnmaximum von 59,4 GE.

zu e)
Das Betriebsoptimum gibt die Stückzahl an, bei der der Betrieb am wirtschaftlichsten produziert.
Darunter versteht man die Menge xo, bei der die durchschnittlichen Kosten je Stück (also die Stückkosten k(x) = K(x) / x am geringsten sind.
Für die Stückkostenfunktion k gilt: k(x) = K(x) / x = x² - 8x + 64 + 160/x
Nun ist die Stelle mit relativem Minimum oder kleinstem Funktionswert k(x) innerhalb des Definitionsbereiches [0 ; 10] gesucht.
mit den Ableitungen k '(x) = 2x - 8 - 160/x² und k "(x) = 2 + 320/x³ folgt aus der notwendigen Bedingung k '(x)=0
2x - 8 - 160/x² = 0 und nach Multiplikation mit x² ergibt sich 2x³ - 8x² -160 = 0, also x³ - 4x² = 80.
Mittels MatheAss oder durch Probieren erhält man eine Extremstelle zwischen den Stellen x = 6,12 und x = 6,13.
Hinreichend überprüft zeigt sich mit k "(6,13) = 2 + 320/6,13³ > 0, dass hier ein relatives Minimum liegt.
Die Höhe der minimalen Stückkosten werden mit k(6,13) = 6,13² - 8 * 6,13 + 64 + 160/6,13 = 78,64 ermittelt.
Das Unternehmen produziert das Gut bei einer Ausbringungsmenge von 6,13 ME mit den durchschnittlichen Stückkosten von 78,63 GE pro ME am wirtschaftlichsten.Diese Ausbringungsmenge xo = 6,13 heißt Betriebsoptimum.

zu f)
(wird später veröffentlicht)