Analysis-Übungen in Stufe EF

Aufgabe: Der Raps-Ernteertrag lässt sich durch die gezielte Zugabe von Stickstoff-Dünger steigern. Eine Überdüngung führt aber zu geringeren Ernteerfolgen. Betrachtet wird der Ernteertrag in Tonnen pro Hektar bei einer Düngermenge x in Tonnen pro Hektar.

1. Im Jahr 2008 lieferten in Nordrhein-Westfalen durchgeführte Versuche diese Ergebnisse:

   x	0,05	0,12	0,17	0,22
   n(x)	3,107	3,798	4,170	4,351

   Bestimmen Sie den Term n(x) einer Funktion 3. Grades, die zu diesen Werten ein gutes Modell liefert. Notieren Sie die Koeffizienten jeweils mit drei Nachkommastellen. [Tipp zeigen]
   Tipp [verbergen] Allgemeine Funktionsgleichung und vier Funktionalbedingungen aufstellen, Parameter a,b,c,d mit linearem Gleichungssystem lösen: mit GTR: Koeffizienten der vier Gleichungen in Matrix, dann rref(); mit CAS: z. B. Define n0(x)=a*x³ + b*x² + c*x + d und solve ( { 4 Funktionalbedingungen } ,a,b,c,d); zuvor am CAS/GTR die Anzeige-Genauigkeit (z. B. auf 5 Digits) einstellen! Im Term Parameter und Variable immer durch Mal-Zeichen trennen, z. B. a*x^3; denn ax^3 meint (ax)^3 !
2. Frühere, aus Hessen berichtete Versuche lieferten Ergebnisse, die durch die Modellfunktion angenähert werden. Beschreiben Sie kurz Unterschiede bzw. Gemeinsamkeiten beider Graphen. [Tipp zeigen]
   Tipp [verbergen] Achtung bei der Termeingabe: -106 2/3 x³ genau kontrollieren!

Im Folgenden soll nun ausschließlich die Modellfunktion h aus Hessen genutzt werden.

3. Entscheiden Sie begründend, in welchem Bereich (bezogen auf die Düngermenge) dieses Modell h den Zusammenhang zwischen Düngermenge und Ernteertrag sinnvoll beschreibt. [Tipp zeigen]
   Tipp [verbergen] Welche Funktionswerte sind im jeweiligen Kontext sinnvoll? Intervalle (von x) notieren, in denen diese Funktionswerte auftreten
4. Bei zu hoher Düngergabe reduziert sich der Ernteertrag wieder.
   1. Ermitteln Sie den Ernteertrag bei einer Düngermenge von ca. 0,23 t/ha.
   2. Zeigen Sie rechnerisch, dass bei dieser Düngermenge der größte Ertrag erreichbar ist.
   3. Berechnen Sie zu x=0,23 die Düngermenge (in Gramm) bezogen auf einen Quadratmeter.
   4. Bestimmen Sie den Mehrertrag bei optimaler Düngung im Vergleich zur Ernte ohne Düngung.
   5. Geben Sie für die Ernteertragssteigerung bezogen auf die Ernte ohne Düngung an:
      Die maximal mögliche Ertragssteigerung durch Düngung liegt
      [ ] unter 25% [ ] zwischen 25% und 50% [ ] bei mehr als 50%
      Zusatz: Der genaue Prozentsatz ist _____ % (von 2,6 t/ha Rapsernte ohne Düngung).
   [Tipp zeigen]
   Tipp [verbergen] Notwendige und hinreichende Untersuchung von Extremstellen durchführen; welche Stellen sind im Kontext relevant? Ein Hektar entspricht 100x100 m², eine Tonne sind 1000 kg, ein Kilogramm enthält 1000 Gramm; Mehrertrag meint zusätzlichen Ertrag verglichen mit düngerloser Ernte; Mehrertrag z. B. durch Differenz (Ertrag mit 0,23 t/ha - Ertrag ohne Düngung); Verhältnis zwischen maximalem Mehrertrag und Ertrag ohne Düngung
5. Der Wendepunkt markiert am Graph den Ort wichtiger Eigenschaften und Veränderungen. Berechnen Sie die Wendestelle der Funktion h und die Steigung der Wendetangente. Interpretieren Sie die berechneten Werte im Sachzusammenhang. [Tipp zeigen]
   Tipp [verbergen] Am Wendepunkt ist auch die größte / die kleinste Steigung einer Umgebung; hinreichende Überprüfung nicht vergessen; nur die Tangentensteigung ist wichtig, nicht die Tangentengleichung;
6. Zeigen Sie rechnerisch, dass die durchschnittliche Ertragszuwachsrate für Düngerzugaben bis 0,1 t/ha ca. 10,14 (Tonnen Raps pro Tonne Dünger) beträgt. Erläutern Sie diesen Wert auch geometrisch am Graphen von h.
7. Ein Landwirt erzielt einen Verkaufserlös von 225 Euro pro Tonne Raps, eingesetzter Dünger kostet ihn 500 Euro pro Tonne.
   1. Stellen Sie einen Term g(x) auf, der den Gewinn pro Hektar in Abhängigkeit von der eingesetzten Menge x an Dünger pro Hektar beschreibt. Es sollen keine weiteren Kosten berücksichtigt werden.
   2. Kontrollieren Sie Ihren ermittelten Term g(x), indem Sie den Gewinn g₀ bei einer Tonne Raps ohne Düngeeinsatz bestimmen und mit dem Wert g(0) vergleichen. Notieren Sie g(x) auch als Polynom.
   3. Bestimmen Sie den maximalen Gewinn (nach Abzug der Düngerkosten) für einen Bauern, der auf seinem 13,2 ha großen Feld Raps anbaut und optimal düngt. Verwenden Sie hilfsweise:
   4. Ermitteln Sie die Düngermenge x, bei der der Gewinn maximal wird. Vergleichen Sie das Ergebnis mit h(0,23), dem maximalen Ertrag bei optimaler Düngung, und erläutern Sie die Gründe für diese unterschiedlichen Ergebnisse.
   [Tipp zeigen]
   Tipp [verbergen] Gewinn = Ertrag - Kosten; ohne Düngung (also x=0) müsste gelten, da keine Kosten entstehen; notfalls Hilfsterm in Polynom umwandeln (ausmultiplizieren); Fläche mal Hektar-Ertrag bei optimaler Düngermenge berechnen

Lösung (aber zuerst selbst rechnen!)