Eine Urne mit sehr vielen Losen enthält 10% Gewinnlose.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, beim
Ziehen von 5 Losen 0, 1, 2, 3, mehr als 3 Gewinne zu bekommen
(Genauigkeit: 4 Nachkommastellen!).
Mit wie vielen Gewinnlosen kann man ‚im Mittel’ rechnen?
b) Man zieht nacheinander Lose aus der Urne.
Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
A: mindestens 2 von 12 Losen sind Gewinne
B: mehr als 43 von 50 Losen sind Nieten
C: keine Gewinne, sondern nur 12 Nieten
D: unter 15 Losen sind 11 Nieten
E: nacheinander 3 Gewinne, keine Nieten
F: mindesten 6 Gewinne unter 20 Losen
G: das k-te Los ist das erste Gewinnlos
H: das 5. Los ist das erste Gewinnlos
I: spätestens das 11. Los ist ein Gewinnlos
c) Urne 1 enthalte wie bisher 10% Gewinnlose, Urne 2 aber 20%.
Man kann die beiden Urnen nicht unterscheiden und wählt zufällig eine
davon, um daraus ein Los zu ziehen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
(1) das Los ein Gewinn oder aus Urne 1?
(2) der Gewinn aus Urne 2 (d. h. ein Los aus Urne 2, wenn es ein Gewinn ist)?
Hinweis: Fertigen Sie hierzu auch ein Baumdiagramm an.
Nun wählt man eine der Urnen und zieht dann daraus 5 Lose. Man erhält
2 Gewinne und glaubt, Urne 2 ausgewählt zu haben.
(3) Zeigen Sie, dass die Auswahl von Urne 2 in diesem Fall ca
75% wahrscheinlich ist.
d) Aus beiden Urnen entnehme man nun je 5 Lose.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter diesen 10 Losen zwei Gewinnlose
zu haben?
Hinweis:
Berechnen Sie dies
(1) zuerst
ohne Berücksichtigung, wie viele Gewinne aus den einzelnen Urnen stammen.
(2)
(Zusatzaufgabe)
Beachten Sie in
einem zweiten Ansatz dann zusätzlich, dass hier 0+2 oder 1+1 oder
2+0 Gewinne aus
den beiden Urnen stammen.
e) Jemand wählt eine der Urnen aus und
zieht 100-mal mit Zurücklegen ein Los.
Er möchte testen, aus welcher der Urnen er zog und sich bei einer Entscheidung
nur 5%-ig irren.
Er will beide möglichen Alternativen testen.
(1) Für einen der Tests gilt dann der Annahmebereich
AH0
= [0 ; 15].
Welche Hypothese liegt ihm zugrunde?
Zeigen Sie durch Berechnung, dass 15 tatsächlich der (im aufgeweiteten
Intervall) korrekte kritische Wert ist.
Skizzieren Sie hierzu ein Histogramm einschließlich
Wahrscheinlichkeitsangaben.
Formulieren Sie kontextbezogen die zugehörige Entscheidungsregel.
(2) Geben Sie nun auch für den alternativen Test die Testhypothese, Annahme- und Verwerfungsbereich sowie die Entscheidungsregel an.
(3) Es werden 11 Gewinnlose gezogen. Wie ist
zu entscheiden?
Welche Fehler können dabei geschehen?
Beschreiben Sie die möglichen Fehler 1. und 2. Art konkret auf die Aufgabe
bezogen.
Wie wahrscheinlich ist es, bei dieser Entscheidung zu irren?
Bei welchen Stichprobenergebnissen ist keine Entscheidung möglich?
Notwendige Hilfsmittel:
Tabellen der kumulierten Wahrscheinlichkeiten
für n = 10, 20, 50, 100
Lösungen: (aber zuerst selber rechnen!)
Lösung zu a)
Lösung zu b)
Lösung zu c)
Lösung zu d)
Lösung zu e)
© 2004 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 10. Februar 2004 durch den WebMaster.
