a) Bei einem Glückspielautomaten beträgt angeblich die Gewinnwahrscheinlichkeit 30%. Diese Angabe sol in 170 Spielrunden überprüft werden.
a(1) Geben Sie eine Entscheidungsregel auf dem 90%-Signifikanzniveau an.
a(2) Bestimmen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit ß, falls die tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit nur 20% beträgt.
b) Bei einem Würfel soll geprüft werden, ob die Augenzahl 6 tatsächlich durchschnittlich in jedem sechsten Wurf auftritt. Dazu würfelt man 240-mal.
b(1) Geben Sie eine Entscheidungsregel für alpha = 10% an.
b(2) In Wirklichkeit ist p = 0,2. Wie groß ist dann ß?
c) Beim Lottospiel 6 aus 49 wird auch
eine sogenannte Superzahl ausgelost, das ist eine der Zahlen 0,1,...,9
. Jemand vertritt die Meinung, dass etwas mit der Ziehungshäufigkeit
der einzelnen Ziffern nicht stimmen könne. Zur Kontrolle sollen
die Ziehungshäufigkeiten von 1200 Ausspielungen überprüft
werden.
c(1) Welche Hypothese kann getestet werden? Bestimmen
Sie eine Entscheidungsregel auf dem 95%-Niveau.
c(2) Welche Fehler können auftreten?
c(3) Wie wahrscheinlich ist es, das tatsächliche Auftreten der '0' in 12% der Ziehungen irrtümlich in einer Stichprobe nicht als verdächtig zu erkennen?
d) Das Fach Geschichte wird von ungefähr einem Drittel aller Schüler als Lieblingsfach benannt. Gilt dies gleichermaßen für Mädchen wie für Jungen? Um dies zu klären, werden einhundert zufällig ausgewählte Mädchen befragt.
d(1) Geben Sie für alpha=10% eine Entscheidungsregel an. Berechnen Sie hier einmal genau (mit kumulierten Binomialwahrscheinlichketen) und einmal näherungsweise durch sigma-Umgebungen.
d(2) Beschreiben Sie die möglichen Fehler 1. und 2. Art.
d(3) Wie wahrscheinlich ist der Fehler 2. Art, falls tatsächlich nur 30% besonders das Fach Geschichte mögen? Auch hier kann genau und näherungsweise gerechnet werden.
Quellen: Elemente der Mathematik 12/13,
Grundkurs NRW, Schroedel,
Seite 465, Aufgaben 2 und 3 ; Seite
482, Aufgabe 3 ; Seite 489, Aufgabe 6d
Hilfsmittel: Tabelle kumulierter
Wahrscheinlichkeiten:
mit n,p fest oder n,p variabel
und Tabelle der Wahrscheinlichkeiten von sigma-Umgebungen
Lösungen [ zu a ] [ zu b ] [ zu c ] [ zu d ] (aber zuerst selbst rechnen!)
Lehrerlösung