Vorüberlegung:
Wenn der Funktionsterm f(x) als Produkt eines ganzrationalen Terms mit dem Faktor ex gebildet ist, dann kann der Stammfunktionenterm F(x) einfach mittels Koeffizientenvergleich ermittelt werden:
Sei f(x) von der Form (<quadratisches Polynom>).ex.
Sicher wird auch F(x) von dieser Form sein, also F(x) = (ax²
+ bx + c).ex. Dann gilt nach Produktregel
für die Ableitung:
Da aber auch F'(x) = f(x) gilt, können
nun die (bekannten) Koeffizienten im Term f(x) mit diesen Koeffizienten
a, 2a+b und b+c gleichgesetzt werden.
Man erhält dann leicht
den Term F(x) durch Lösen des erhaltenen Gleichungssystems.
Beispiel:
Aufgaben:
a) Ermitteln Sie
auch den Stammfunktionenterm zu f(x) = (2x² - 4x).ex.
b) Leiten Sie F'(x) analog her, um auch für die folgenden Terme
f(x) den Term F(x) zu ermitteln:
c) Bestimmen Sie das Maß
aller Flächen zwischen Graph und erster Achse für
f(x) = (x³ - 3x² + 4).ex.
Machen Sie die Probe mit MatheAss.
Zusatzaufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f aus Teilaufgabe a).
Lösungen zu a) zu b) zu c) zur Zusatzaufgabe (aber zuerst selbst rechnen!)