Abiturvorbereitung zur Analysis in Stufe 13

Aufgabe:

Die Gleichung der Funktion f sei jeweils gegeben.

(1) Untersuchen Sie die Funktion vollständig.

(2) Zeichnen Sie den Funktionsgraph G(f) möglichst präzise; bestimmen Sie ggf. weitere Graphenpunkte.

(3) Ermitteln Sie den Inhalt A der Gesamtfläche, die der Graph G(f ) und die x-Achse einschließen.

(4) Bearbeiten Sie ggf. die zusätzlichen Teilaufgaben.

a) f(x) = (x² - 1)^.e^x
Zeigen Sie, dass F(x) = (x² - 2x + 1)^.e^x der Term der zugehörigen Stammfunktion ist. Hinweis: Hier sind zwei Teilflächen zu bearbeiten. (Quelle: M. Beer, Leverkusen)

b) f(x) = (2x² - 4)^.e^x

Zur Kontrolle: F(x) = (2x² - 4x)^.e^x ist der Stammfunktionsterm.

c) f(x) = (2x² - 4x)^.e^x

Zur Kontrolle: F(x) = (2x² - 8x + 8)^.e^x ist der Stammfunktionsterm.

d) Bestimmen Sie zu den Teilaufgaben a) - c) den Stammfunktionsterm mittels Koeffizientenvergleich. Eine Einführung dazu finden Sie hier.

e) f(x) = (x³ - 3x² + 4)^.e^x

Bestimmen Sie die Stammfunktion mittels Koeffizientenvergleich. Eine Einführung dazu finden Sie hier.

f) Bestimmen Sie das Maß der Flächen zwischen
G(f) mit f(x) = (2x² - 4x)^.e^x und G(g) mit g(x) = e^x.

g) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente an
G(f) mit f(x) = (x³ + 2x²) ^. e^x  an der Wendestelle x_w = -2 .
Diese Wendestelle ist nachzuweisen.

h) Interpretation von Daten am Graphen einer Exponenzialfunktion:
Zur Aufgabenstellung

Lösung [ zu a) ] (aber zuerst selbst rechnen!)
Kontroll-Lösungen: (aber zuerst selbst rechnen!; z. T. erstellt mit MatheAss)
[ zu b ] [ zu c) ] [ zu d) ] [ zu e) ] [ zu f) ] [ auch zu f) ] [ zu g) ] [ zu h) ]