Analysis-Abiturvorbereitung im GK Mathematik der Stufe 13:

Übung 8
Themenbereich Anwendungsaufgaben (Betriebswirtschaft)

Tipps

Tipps zu a)

• Die gegebenen Bedingungen sind als Gleichungen zu formulieren.
  Die Fixkostenbedingung ist dabei die einfachste.
• Drei der Gleichungen des aufzustellenden Gleichungssystems können sofort vereinfacht werden:
  Jeweils durch Einsetzen von d = ... (sofort bekannt) und durch passende Division.
  Hier können sehr schnell algebraische Fehler passieren, also konzentriert arbeiten!
• Hinreichende Überprüfungen sind (auf Grund der gegebenen Bedingungen; warum?) nicht vorzunehmen!
• Abschließend sollten unbedingt die Proben K(0), K(2), K(4) und K(6) gerechnet werden!
  Erst dann ist sichergestellt, dass K(x) fehlerfrei ermittelt wurde!
• Auch eine Probe mit MatheAss (insbesondere die Kontrolle der Wertetabelle) ist sinnvoll.
• Zur Kontrolle: K(x) = x³ - 8x² + 25x + 12

Tipps zu b)

• Das Intervall I1 abnehmender Grenzkosten besteht aus den Stückzahlen x,
  für die der Graph der Kostenfunktion rechtsgekrümmt ist.
• Wegen des Zusammenhangs 'G(K) ist dort rechtsgekrümmt, wo K"(x) < 0 ist' gilt:
  Das Intervall I1 wird also beschrieben durch  I1 = { x ElementAus D(K) | K"(x) < 0 }
• Zu bestimmen ist also die zweite Ableitung K"(x) und der Negativbereich dieses Ableitungsgraphen.
• Da die zweite Ableitung ein linearer Term ist, fällt die Lösung der aufgestellten Ungleichung sehr leicht.
• Beim Aufstellen der beiden Intervalle I1 und I2 muss besonders auf deren Ränder geachtet werden.

Tipps zu c)

• Beachte beim Aufstellen des Terms für die Gewinnfunktion,
  in welcher Beziehung Kosten, Erlös und Gewinn zueinander stehen.
• Zur Kontrolle: G(x) = -x³ + 8x² - 6x - 12

Tipps zu d)

• Die Gewinnzone besteht aus den Stückzahlen x, für die (positiver) Gewinn entsteht.
• Die Gewinnzone ist das Intervall I3, in dem die Gewinnfunktion G positive Funktionswerte besitzt:
  I3 = { x ElementAus D(G) | G(x) > 0 }
• Zu bestimmen sind also die Nullstellen und der Positivbereich von G.
• Erraten der ersten Nullstelle durch Probieren für x > 0 (wegen D(G))
• Ermitteln weiterer Nullstellen durch Polynomdivision und Nullsetzen des quadratischen Ergebnisterms
• Untersuchung auf Positivbereich durch bequeme Punktprobe zwischen den Nullstellen

Tipps zu e)

• Die Produktionsmenge mit maximalem Gewinn ist die Stückzahl x,
  an deren zugehöriger Stelle x die Gewinnfunktion G ein relatives Maximum (einen Hochpunkt) besitzt.
• Das Gewinnmaximum ist als Funktionswert G(x) an dieser Stelle zu errechnen.
• Zu bestimmen sind also die erste und zweite Ableitung,
  aufzustellen ist die notwendige Bedingung für Extremstellen,
  diese sind zu berechnen und hinreichend zu überprüfen: Nur Stellen mit relativem Maximum sind hier relevant.

Tipps zu f1)

• Es sind also die neue Gewinnschwelle und die neue Gewinngrenze zu ermitteln.
  die neue Gewinnschwelle ist wiederum ganzahlig und kann durch Punktprobe ermittelt werden.
• Das neue Gewinnmaximum muss ebenfalls neu errechnet werden.

Tipps zu f2)

• In welchem geometrischen Zusammenhang stehen die Graphen G(Galt) und G(Gneu)?
  Was bedeutet dies für die Breite der Gewinnzone, was für den maximalen Gewinn?
• Es sind also die neue Gewinnschwelle und die neue Gewinngrenze neu zu ermitteln,
  das neue Gewinnmaximum kann sofort angegeben werden.
  Die erste Nullstelle (Gewinnschwelle) ist nun nicht mehr ganzzahlig!

Tipps zu g)

• Die variablen Kosten enthalten nicht die Fixkosten.Die Stückkosten sind definiert als kv(x) = Kv(x)/x.
  Zur Kontrolle: kv(x) = x² - 8x + 25.

Lösungen zu a)
Lösungen zu b)
Lösungen zu c-e)
Lösung zu f1)
Lösung zu f2)
Lösung zu g)

© 2004 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 10. Februar 2004 durch den WebMaster.